Uma proposição é uma palavra, um conjunto de palavras ou, até mesmo, um conjunto de símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, que assume valor lógico verdadeiro (V) ou valor lógico falso (F).

Toda proposição segue dois princípios básicos:

a) Matemática é uma ciência exata.

Temos um conjunto de palavras que expressam um pensamento de sentido completo, que assume valor lógico verdadeiro (V). Portanto, a frase: "Matemática é uma ciência exata." é uma proposição.

Operações lógicas sobre proposições

Vejamos as operações lógicas fundamentais necessárias ao calculo proposicional:

Toda proposição segue dois princípios básicos:

1) Negação ( ~ ):

A negação de uma proposição p é a proposição representada por "não p",indicada por "~ p", cujo valor lógico é o oposto do valor lógico de p.

Exemplo:

p: "O jogo terminou empatado."

O valor lógico de p é indicado por V(p) = V. (lê-se: o valor lógico de p é V (verdade).)

A negação de p é a proposição:

~ p: "O jogo não terminou empatado.".

Como V(p) = V então V(~ p) = F

Vimos, anteriormente, que podemos combinar proposições simples p, q, r, ... , através de conectivos lógicos: , para formar novas proposições P, Q, R, ... .

Para qualquer proposição é possível construir uma tabela que mostrará todos os seus possíveis valores lógicos, visto que este só depende dos valores lógicos das proposições simples que a compõe. Esta tabela é denominada tabela-verdade.

Temos como exemplos de tabelas-verdade, as tabelas descritas para as operações lógicas fundamentais:

Duas proposições são ditas logicamente equivalentes quando tem os mesmos valores-lógicos em todos os casos possíveis. Ou seja, se a última coluna das tabelas-verdade das proposições dadas são idênticas. Quando duas proposições p e q são equivalentes, usamos a notação p q.

Vejamos alguns exemplos de equivalências lógicas:

1)                     ~ (~ p) ~ ~ p p.

Observe que:

Valores lógicos iguais.

Regras de Inferência

Veremos a seguir uma lista com dez argumentos básicos utilizados para fazer "inferências", isto é, executar os "passos" de uma dedução (demonstração). De forma padronizada colocamos as premissas sobre o traço horizontal e, e seguida, a conclusão sob o traço.

1) Adião: 2) Simplificação: 3) conjunção: 4) Absorção:

ou ou ou

5) Modus Ponens: 6) Modus Tolles: 7) Silogismo disjuntivo:

ou

8) Silogismo Hipotético: 9) Dilema construtivo: 10) Dilema destrutivo:

Noções de Conjuntos

1) Representação:

Podemos representar um conjunto por:

·           Extensão – designando todos os elementos que o compõe. Por exemplo, A = { a, b, c, d, e}.

·           Compreensão – Indicando uma propriedade comum entre todos os elementos. Por exemplo, B = {}.

·           Diagrama:

Questões de Associação

Exercícios Resolvidos

1) (MPU/04) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que:

1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico,

2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico;

3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico,

4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor.

Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,

a) professor, médico, músico.

b) médico, professor, músico.

c) professor, músico, médico.

d) músico, médico, professor.

e) médico, músico, professor.

Solução:

Suponhamos que Ricardo seja médico.

De (1) temos que: se Ricardo é médico então Renato não é médico.

Logo, Renato é professor ou musico.

De (2) temos que Ricardo não é professor então Rogério é músico

Como Ricardo é médico e Rogério é músico, Renato só pode ser professor.

Porcentagem

Uma porcentagem é a razão entre um valor p qualquer e o número 100. Assim, a representação de uma porcentagem é dada por

Para calcular uma porcentagem de um determinado valor, basta multiplicá-lo pela razão

Exercícios Resolvidos

1) (A.N.ORÇ-RJ) Em uma venda de R$ 3.840,00, um vendedor recebeu de comissão R$ 115,20. Qual é a taxa de comissão paga pela loja aos seus vendedores?

a) 1,5% b) 2,5% c) 2% d) 3% e) 4%

Solução:

A comissão do vendedor é calculada sobre o preço da venda realizada por ele. Assim, p% de 3.840 deve ser igual à comissão recebida. Ou seja:

p% de 3840 = 115,20

3840.p = 115,20 x 100

3840.p = 11520

p =   

p = 3

Portanto, a taxa de comissão paga pela loja aos seus vendedores é de 3%.

Juros Simples

Sejam:

C: capital principal ou inicial

J: juros simples

M: montante

i: taxa porcentual de juros

t: tempo de aplicação

f: fator de atualização, onde f = (1 + i.t) ou f = 1 + p%

Usaremos, no estudo dos juros simples, as seguintes fórmulas:

J = C.i.t ou J = p%.C, onde p% = i.t M = C + J ou M = C.f

Descontos Simples

Sejam:

: desconto comercial, bancário ou por fora

: desconto racional, matemático ou por dentro

: valor nominal ou de face

: valor atual (valor com o desconto)

D: valor do desconto (seja ele, por dentro ou por fora)

Usaremos as seguintes fórmulas para calcular os descontos simples:

= .p% , onde p% = i.t.

= .f , onde f = 100% + p%, ou f = 1 + i.t, ou ainda, f = 1 + p%.

V = V - D (seja D desconto comercial ou racional)

Juros compostos

Sejam:

M_c: montante composto

J_c: Juros compostos

i: taxa de juros compostos

n: período de tempo da aplicação

Utilizaremos as seguintes fórmulas para o cálculo do montante e dos juros compostos:

Observação:

·     Para juros mensais, sendo t em meses e i capitalizada mensalmente, teremos n = t.

·     Para juros semestrais, sendo t semestres e capitalizada mensalmente, teremos n =

·     Para juros anuais, sendo t em anos e capitalizada mensalmente, teremos n =

·     E assim por diante.

Estudo das taxas

Taxa nominal – apresenta-se em um período de tempo diferente do período de capitalização. Mas, pode ser dividida ou multiplicada várias vezes, de forma que possa representar outra unidade de tempo para juros simples, ou outra unidade de mediada para juros compostos.

Exemplos:

36% a.a. capitalizada mensalmente;

5% a.m. com capitalização diaria;

18% ao semestre capitalizada bimestralmente.

Desconto composto

Exercícios resolvidos

1) (TCDF) Uma duplicata no valor de $ 2.000,00 é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de:

a) $ 1.600,00 e $ 400,00 b) $ 1.620,00 e $ 380,00

c) $ 1.640,00 e $ 360,00 d) $ 1.653,00 e $ 360,00

Solução:

V = 2.000 V = V.(1 - i)

t = 2 meses V = 2000.(1 - 0,1)

i = 10% a.m. = 0,1 V = 2000.(0,9)

n = 2 V = 2000.0,81

V = 1620 (valor descontado)

V - V =

2000 – 1620 =

= 380 (valor do desconto)

Rendas certas ou anuidades

Rendas postecipadas

As rendas postecipadas são uma série de pagamentos uniformes em que o primeiro pagamento ocorre no inicio do primeiro período após inicio do negócio. Observe o esquema que representa uma série de pagamentos por renda postecipada:

Para as rendas postecipadas utilizaremos as seguintes fórmulas:

A = R . a(n,i)

Onde a(n,i) = . ( a(n,i) é o fator de valor atual e é tabelado como a)

A valor da renda ou capital principal ou valor atual

R termo ou parcela da renda (valor da prestação)

n números de termos ou períodos

i taxa de juros

alê-se: a, n cantoneira i

Sistemas de Amortização

Sistema de Amortização Francês (Tabela Price)

O montante devido (saldo devedor mais os juros) é devolvido em prestações iguais, periódicas e consecutivas. Portanto, podemos utilizar as fórmulas aprendidas para rendas uniformes.

Utilizaremos para o cálculo dos valores da Tabela Price, as seguintes formulas:

, , ou

onde:

A cota de amortização A cota de amortização no período k

E valor do empréstimo P k-ésima parcela ou prestação

n e k número de períodos J juros no período k

i taxa de juros S saldo devedor no período k.

Cálculo Financeiro

Neste capítulo vamos retomar o conceito de fluxo de caixa.

Em um fluxo de caixa, vamos representar um valor atual liquido como VPL.

Na avaliação de um investimento ou de um fluxo de caixa devemos destacar que:

* Taxa Interna de retorno (i) é a taxa que faz com que o valor atual líquido do fluxo de caixa seja igual a zero.

* Taxa mínima de atratividade (i) é a taxa mínima de juros que torna conveniente aplicar o capital num investimento.

O custo efetivo de um investimento é a taxa interna de retorno do seu fluxo de caixa.